Felix Renggli nasceu em Basileia, Suíça. Estudou flauta com Gerhard Hildenbrand, Aurèle Nicolet e Peter-Lukas Graf. Concluiu os seus estudos na Academia de Música de Basileia com o diploma de solista e, em seguida, atuou como flautista principal em várias orquestras, como a Orquestra do Festival IMF de Lucerna, a Orquestra Tonhalle de Zurique, a Orquestra Sinfônica de St. Gallen, a Orquestra Gulbenkian de Lisboa, a Chamber Orchestra of Europe e a Camerata Bern.
Renggli é vencedor de concursos nacionais e internacionais e oferece regularmente masterclasses na Europa, América do Sul, Japão, China e Austrália. Sua intensa atividade como concertista o leva a se apresentar como solista e músico de câmara por toda a Europa, América do Sul, Estados Unidos, Japão e China, participando de diversos festivais internacionais. A sua colaboração contínua com o oboísta, maestro e compositor Heinz Holliger teve uma influência decisiva no seu trabalho musical.
Em 1994, Renggli sucedeu P.-L. Graf ao assumir uma classe de formação e concertos na Escola Superior de Música de Basileia. De 2004 a 2014, também foi professor na Hochschule für Musik de Friburgo, na Alemanha. Desde o outono de 2015, também leciona no Conservatório della Svizzera Italiana em Lugano.
Suas atividades musicais abrangem desde a música contemporânea — com inúmeras estreias com os "Swiss Chamber Soloists" e o "Ensemble Contrechamps" — até o repertório clássico de câmara e solo, incluindo interpretações de música antiga em instrumentos históricos. Possui uma vasta discografia com várias gravações em CD.
Em 1999, juntamente com o violoncelista Daniel Haefliger e o violetista Jürg Dähler, fundou a primeira série nacional suíça de música de câmara, os "Swiss Chamber Concerts", com os quais compartilha a direção artística. Em 2020, receberam o Prémio Suíço de Música.