Felix Renggli est né à Bâle, en Suisse. Il a étudié la flûte auprès de Gerhard Hildenbrand, Aurèle Nicolet et Peter-Lukas Graf. Il a terminé ses études à l'Académie de Musique de Bâle avec un diplôme de soliste, puis a joué en tant que flûte solo dans plusieurs orchestres, notamment l’Orchestre du Festival IMF de Lucerne, l’Orchestre de la Tonhalle de Zurich, l’Orchestre symphonique de Saint-Gall, l’Orchestre Gulbenkian de Lisbonne, le Chamber Orchestra of Europe et la Camerata Bern.
Lauréat de concours nationaux et internationaux, Renggli donne régulièrement des masterclasses en Europe, en Amérique du Sud, au Japon, en Chine et en Australie. Son activité de concertiste l’amène à se produire en tant que soliste et chambriste à travers l’Europe, l’Amérique du Sud, les États-Unis, le Japon et la Chine, avec des apparitions dans de nombreux festivals internationaux. Sa collaboration étroite avec le hautboïste, chef d’orchestre et compositeur Heinz Holliger a été une source d’inspiration majeure dans son travail musical.
En 1994, Renggli a succédé à P.-L. Graf en reprenant une classe de formation et de concert à la Haute École de Musique de Bâle. De 2004 à 2014, il a également été professeur à la Haute École de Musique de Fribourg-en-Brisgau. Depuis l’automne 2015, il enseigne également au Conservatoire de la Suisse italienne à Lugano.
Son activité musicale va de la musique contemporaine — avec de nombreuses créations au sein des "Swiss Chamber Soloists" et de l’"Ensemble Contrechamps" — au répertoire classique pour soliste et musique de chambre, en passant par l’interprétation de musique ancienne sur instruments historiques. Il a enregistré de nombreux CD.
En 1999, il a fondé, avec le violoncelliste Daniel Haefliger et l’altiste Jürg Dähler, la première série nationale suisse de musique de chambre, les "Swiss Chamber Concerts", dont il partage la direction artistique. En 2020, ils ont reçu le Prix suisse de musique.